룰렛 표준편차
분산수학분산결과가 기대값 주위에 얼마나 넓게 퍼지는지 나타내는 척도입니다. 스트레이트업은 높고 동등 배당 베팅은 낮습니다.전체 읽기 →의 제곱근인 룰렛 표준편차는 결과와 기대값 사이의 전형적 거리입니다.
베팅액 $1당 스트레이트업의 σ 값은 5.84, 레드의 값은 1.00입니다. 세션에서는 베팅액과 스핀 수의 제곱근을 곱하십시오.
경험 법칙
세션의 약 삼분의 이는 기대값에서 σ 하나 이내에 들고, 95%는 두 개 이내에 듭니다. $10으로 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →를 100회 스핀한 경우(기대값 −$27, σ = $100), 대부분의 세션은 −$127과 +$73 사이에 들며 거의 전부는 −$227과 +$173 사이에 듭니다. 그 범위 밖의 결과는 스무 세션 중 하나가 그렇다는 점 외에는 아무것의 증거도 아닙니다.
왜 √N인가
기대 손실수학기대 손실기대값에 총 베팅액을 곱한 값으로, 세션이나 기간에 평균적으로 잃는 금액입니다.전체 읽기 →은 N에 비례해 커지고, 퍼짐은 √N에 비례해 커집니다. N이 작으면 퍼짐이 지배하여 세션은 약간 기운 동전 던지기와 같습니다. N이 크면 손실이 퍼짐을 앞섭니다. 기대 손실이 표준편차수학표준편차분산의 제곱근으로, 결과가 기대값에서 벗어나는 전형적 거리입니다.전체 읽기 → 하나와 같아지는 교차점은 동등 배당에서 N = (σ/엣지)² = (1/0.027)² ≈ 1,370회 스핀, 스트레이트업베팅스트레이트업숫자 하나에 거는 베팅으로 35:1을 지급합니다.전체 읽기 →에서 (5.84/0.027)² ≈ 46,800회 스핀입니다. 이보다 적으면 운이 결정하고, 많으면 엣지가 결정합니다.
사용법
한 세션이 이례적이었는지 판단하려면 (결과 − EV)/σ 로 계산하십시오. $10 레드 베터가 100회 스핀을 +$150으로 마치면 (150 + 27)/100 = 1.77σ, 즉 25번 중 한 번의 결과입니다. 운이 좋지만 특별하지는 않습니다. 같은 +$150인 스트레이트업 베터는 0.3σ 수준으로 평범한 밤입니다. 같은 달러 결과도 베팅에 따라 다른 뜻입니다.
비율의 표준 오차
같은 계산은 데이터에서 엣지를 보려면 스핀이 얼마나 필요한지도 알려 줍니다. 관측된 당첨 비율의 표준 오차는 √(p(1 − p)/N)입니다. N = 1,000에서 레드는 √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%입니다. 공정한 동전과 레드의 차이는 1.35%이므로 1,000회 스핀 뒤에도 둘을 자신 있게 구별할 수 없습니다. 10,000회 뒤에는 표준 오차가 0.5%가 되어 구별할 수 있습니다. 휠 편향 탐지에 스핀이 그렇게 많이 필요한 이유이기도 합니다.
비대칭성에 대한 주의
스트레이트업 결과는 짧은 세션에서 정규 분포와 거리가 멉니다. 대부분의 세션은 스핀당 꾸준히 −$10이고 가끔 +$350만큼 뛰어오릅니다. ±1σ 규칙은 퍼짐은 제대로 묘사하지만 N이 수백이 될 때까지 모양은 잘 묘사하지 못합니다. 동등 배당 베팅베팅동등 배당 베팅레드/블랙, 홀/짝, 하이/로우 베팅입니다. 18개 숫자에 걸며 1:1을 지급합니다.전체 읽기 →에서는 약 30회 스핀부터 정규 근사가 좋습니다.
공식
질문
약 40세션을 플레이했다거나, 마흔 번 중 운 좋은 한 번이었다는 증거입니다. 반복해 보십시오.
흔들림은 점점 작아집니다. 평균의 표준 오차는 σ/√N입니다. N = 10,000이면 베팅액의 1%입니다.
수학으로 즐기기
먼저 직접 풀어 보십시오. 각 해설은 접혀 있으므로 준비되었을 때 여십시오.
유러피언 휠 100회 스핀에서 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →에 한 유닛금액유닛시스템이나 플레이어가 기준으로 삼는 기본 베팅액입니다. 프로그레션을 유닛으로 설명하면 어느 테이블에도 적용할 수 있습니다.전체 읽기 →을 걸면 51번 이상 이겨야 이익 상태이고, 스트레이트업베팅스트레이트업숫자 하나에 거는 베팅으로 35:1을 지급합니다.전체 읽기 →에 한 유닛을 걸면 그 숫자가 적어도 3번 나와야 이익 상태입니다. 정규 곡선으로 두 확률을 추정한 뒤 정확한 답과 비교하십시오.
해설 보기
답 레드: 정규 곡선은 35.6%, 정확한 답은 35.5%입니다. 스트레이트업: 정규 곡선은 55.0%, 정확한 답은 50.9%입니다. 이 지름길은 레드에는 맞지만 숫자 하나에는 빗나갑니다.
레드는 평균 100 × 18/37 = 48.6회 이기며, 표준편차는 √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0입니다. 이익 상태는 51회 이상이고, 중간 경계인 50.5는 평균보다 0.37 표준편차 위입니다. 정규 곡선은 그 위에 35.6%가 있다고 합니다. 51, 52 … 100회 승리의 정확한 확률을 더하면 35.5%입니다.
스트레이트업은 평균 100/37 = 2.70회 적중하고, 표준편차는 √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62입니다. 세 번 이상 적중은 2.5보다 큰 것으로 평균보다 0.12 표준편차 아래이므로, 정규 곡선으로는 55.0%입니다. 정확히는 0, 1, 2회 적중 확률 6.5% + 17.9% + 24.7%를 1에서 빼 50.9%입니다.
정규 곡선은 평균 양쪽에 충분한 결과가 필요합니다. 레드는 100회 스핀 뒤에는 양쪽에 충분한 결과가 있지만, 평균 적중 횟수가 세 번보다 적은 숫자는 그렇지 않습니다. 곡선은 실제 확률이 6.5%인 ‘적중 없음’에조차 8.7%를 줍니다. Taylor (2021)은 같은 방식으로 이항분포와 정규 곡선을 나란히 놓습니다.
만화 한숨 돌리기
스무 세션 중 하나는 두 시그마 밖에 있습니다. 누군가는 언제나 꼬리 쪽에 있습니다.
출처
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.