문제: 테이블 한도
$500 한도 테이블에서 $10 Martingale을 사용합니다. 얼마나 자주 중단되고, 중단되면 얼마나 잃으며, 한도를 올리면 도움이 될까요?
여섯 번 연속 패배가 이를 중단시킵니다. 주기당 1.8%이며 100회 스핀 세션의 약 60%입니다. 중단 시 $630을 잃습니다. 한도를 $5,000로 올리면 중단은 더 드물어지지만(주기당 0.25%) 손실은 더 커집니다($5,110). 베팅한 달러당 기대 손실은 어느 한도에서나 2.70%입니다.
문제
플레이어는 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →에 $10를 베팅하고, 질 때마다 두 배로 늘리며, 이기면 다시 처음으로 돌아갑니다. 테이블 최대 한도는 $500입니다. (a) 몇 번 연속 패배하면 프로그레션전략프로그레션이전 결과에 따라 베팅액을 바꾸는 모든 규칙입니다. 음의 프로그레션은 질 때, 양의 프로그레션은 이길 때 베팅액을 올립니다.전체 읽기 →이 중단되나요? (b) 주기당 확률수학확률결과가 일어날 가능성으로, 0에서 1 또는 0%에서 100% 사이로 나타냅니다. 숫자 하나는 1/37 = 2.70%입니다.전체 읽기 →은 얼마인가요? (c) 중단 시 얼마를 잃나요? (d) $5,000 한도는 답을 어떻게 바꾸나요? (e) 어떤 한도라도 이 시스템을 수익성 있게 만드나요?
풀이 (a)–(c)
베팅액은 10, 20, 40, 80, 160, 320입니다. 일곱 번째는 640 > 500이므로 여섯 번 연속 패배가 이를 중단시킵니다. (b) 레드에서 p(패배) = 19/37이고, (19/37)⁶ = 0.0183이므로 주기당 약 1.8%입니다. 주기는 평균 약 두 번 스핀이므로 100회 스핀 세션에는 대략 50주기가 있고 p(적어도 한 번 중단) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%입니다. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630이며, 이는 주기가 따내려던 $10에 비해 기본 유닛금액유닛시스템이나 플레이어가 기준으로 삼는 기본 베팅액입니다. 프로그레션을 유닛으로 설명하면 어느 테이블에도 적용할 수 있습니다.전체 읽기 → 63개입니다.
풀이 (d)
$5,000에서는 2,560까지의 베팅액이 허용되고, 열 번째 베팅액인 5,120은 거부됩니다. 아홉 번 연속 패배가 이를 중단시킵니다. (19/37)⁹ ≈ 0.25%로 주기당이며, 100회 스핀 세션의 약 11%입니다. 중단 시 손실은 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110입니다. 플레이어는 더 큰 재앙을 대가로 더 드문 재앙을 산 셈입니다. 여러 세션에서 중단의 기대 비용은 $500 한도에서는 p × 손실 ≈ 0.0183 × 630 = 주기당 $11.5이고, $5,000에서는 0.0025 × 5,110 = $12.8입니다. 반올림 범위에서는 같은 수이며, 이는 성공한 주기가 얻는 $10를 뺀 주기의 기대 손실수학기대 손실기대값에 총 베팅액을 곱한 값으로, 세션이나 기간에 평균적으로 잃는 금액입니다.전체 읽기 →입니다.
풀이 (e)
아니요. 각 베팅은 자기 금액의 −1/37이므로 어느 한도에서나 주기당 기대 손실 = (주기의 기대 총 베팅액) / 37입니다. 한도는 손실이 많은 작은 승리와 몇 번의 큰 손실 사이에 어떻게 분배되는지만 정합니다. 한도가 없고 게임 자금금액게임 자금플레이를 위해 따로 마련한 총액입니다. 게임 자금 관리는 베팅별·세션별로 그중 얼마를 위험에 노출할지 정하는 일입니다.전체 읽기 →이 무한하다면 프로그레션은 결코 중단되지 않는다는 뜻에서는 ‘작동’하겠지만, 그 무한한 금액을 베팅하며 그 무한한 금액의 2.70%인 기대 손실도 갖게 됩니다. 테이블 한도테이블테이블 한도허용되는 최소·최대 베팅액입니다. 최대 한도가 두 배로 늘리는 프로그레션을 막습니다.전체 읽기 →가 Martingale전략Martingale질 때마다 베팅액을 두 배로 늘리는 프로그레션입니다. 무엇을 하고 무엇을 하지 못하는지는 전략 섹션을 보십시오.전체 읽기 →의 작동을 막는 것은 아닙니다. 산술이 막습니다.
실제 테이블 두 곳
Thorp의 예는 최대 한도가 $1,000인 $1 테이블에서 플레이어가 한 번에 한 달러씩 저녁 식사비 $30를 따내려 하는 경우입니다. 베팅액 1, 2, 4 … 512는 열 번의 베팅을 허용하므로 열 번 연속 패배가 프로그레션을 중단시킵니다. 유러피언 휠에서는 785주기마다 한 번(아메리칸 휠에서는 613주기마다 한 번)이며 비용은 $1,023입니다. 서른 주기가 모두 성공할 확률은 96.2%입니다. 나머지 3.8%는 약 $1,000를 잃고, 저녁의 평균 결과는 −$9.17입니다. 이는 서른 주기가 평균적으로 베팅하는 $339의 정확히 1/37입니다. 최대 한도가 $2,000인 $5 테이블도 다르지 않습니다. $1,280까지의 베팅액은 아홉 번의 베팅을 허용하고, 유러피언 휠에서는 403주기마다 한 번(아메리칸 휠에서는 323주기마다 한 번) 중단되며 비용은 $2,555입니다.
부유한 플레이어
낮은 한도 대신 넉넉한 게임 자금을 프로그레션에 줍니다. 게임 자금 1,000 유닛, 기본액 한 유닛으로 레드에 1,000회 스핀하고, 다음 두 배 베팅액이 남은 금액보다 클 때마다 한 유닛에서 다시 시작합니다. 이런 저녁을 백만 번 시뮬레이션했습니다. 유러피언 휠에서는 52%가 이익으로 마치고, 21%가 전부를 잃으며, 평균 결과는 −124 유닛입니다. 모든 베팅이 공정한 제로휠제로어떤 동등 배당·더즌·컬럼 베팅도 덮지 않는 하나의 녹색 포켓이며 하우스 엣지의 원천입니다. 싱글 제로, 0이라고도 합니다.전체 읽기 → 없는 게임에서도 약 60%만 이익으로 마칩니다. 보통의 저녁은 작은 승리지만 평균 손실은 제로로 끝나는 저녁들이 감당합니다.
교훈
카지노는 시스템을 물리치려고가 아니라 자기 분산수학분산결과가 기대값 주위에 얼마나 넓게 퍼지는지 나타내는 척도입니다. 스트레이트업은 높고 동등 배당 베팅은 낮습니다.전체 읽기 →를 제한하려고 한도를 정합니다. Martingale을 막는 것은 카지노가 반기는 부수 효과이고, 어쨌든 산술이 그것을 막습니다. 한도가 문제라고 생각하는 플레이어는 벼랑을 찾아내고 그것을 경사로로 착각한 것입니다.
공식
질문
더 높은 한도까지 버틸 수 있어 중단은 더 드물고 더 커집니다. 달러당 기대 손실은 바뀌지 않습니다.
베팅액은 10, 30, 70, 150, 310입니다. $500 한도에는 다섯 번 패배 뒤에 도달하고 중단 시 $570을 잃습니다. 같은 2.70%입니다.
한 플레이어가 카지노의 보유금으로 무리 없이 지급할 수 있는 금액보다 더 많이 베팅하지 못하게 하기 위해서입니다. 분산 관리입니다.
수학으로 즐기기
먼저 직접 풀어 보십시오. 각 해설은 접혀 있으므로 준비되었을 때 여십시오.
Martingale전략Martingale질 때마다 베팅액을 두 배로 늘리는 프로그레션입니다. 무엇을 하고 무엇을 하지 못하는지는 전략 섹션을 보십시오.전체 읽기 →은 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →에 $100부터 시작하고 한 사이클에 최대 n번 베팅만 허용합니다. n번 연속으로 지면 포기하고 다시 시작합니다. 한 사이클의 평균 결과를 n의 공식으로 쓰고, 유러피언 휠에서 5, 6, 7번 베팅일 때 계산하십시오.
해설 보기
답 평균은 100 × (1 − (38/37)ⁿ)입니다. 5번 베팅에서는 −$14.26, 6번에서는 −$17.35, 7번에서는 −$20.52입니다. 더 많이 베팅할수록 평균 사이클은 좋아지지 않고 나빠집니다.
모든 n번 베팅이 질 때를 제외하면 한 사이클은 $100을 법니다. 그 확률은 q = 19/37일 때 qⁿ입니다. 모두 지면 베팅액 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹의 합은 100 × (2ⁿ − 1)입니다. 따라서 평균은 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)입니다.
여기서 2q = 38/37은 1보다 약간 크므로 (2q)ⁿ은 n과 함께 커지고 평균은 떨어집니다. n = 5이면 1.1426과 −$14.26, n = 6이면 1.1735와 −$17.35, n = 7이면 1.2052와 −$20.52입니다. 더 긴 사다리는 3.6%, 1.8%, 0.9%의 사이클에서 덜 지지만, 각 손실은 두 배 크고 사이클마다 테이블을 건너가는 돈도 더 많으며 모든 베팅액의 2.70%가 듭니다.
아메리칸 휠에서는 2q = 40/38이고 수치는 −$29.24, −$36.04, −$43.20입니다(Taylor, 2021). 제로휠제로어떤 동등 배당·더즌·컬럼 베팅도 덮지 않는 하나의 녹색 포켓이며 하우스 엣지의 원천입니다. 싱글 제로, 0이라고도 합니다.전체 읽기 →가 없는 게임에서는 2q = 1이므로, 사다리 길이와 관계없이 모든 사이클의 평균은 정확히 영입니다.
‘grand Martingale’은 패배 뒤 베팅액을 두 배로 하고 유닛금액유닛시스템이나 플레이어가 기준으로 삼는 기본 베팅액입니다. 프로그레션을 유닛으로 설명하면 어느 테이블에도 적용할 수 있습니다.전체 읽기 → 하나를 더해 1, 3, 7, 15, 31 …로 갑니다. 첫 승리가 1번째, 2번째, 3번째 또는 k번째 베팅에 나오면 몇 유닛 이익입니까? $10 유닛과 $500 최대 한도에서는 얼마나 자주 사이클이 중단되며, 사이클 평균 비용은 얼마입니까?
해설 보기
답 k번째 베팅에서 이기면 k 유닛 이익입니다. 즉 +1, +2, +3 등입니다. $10과 $500에서는 다섯 번 지면 사이클이 중단되어, 사이클의 3.57%에서 −$570입니다. 평균적으로 한 사이클은 평균 $85.73을 걸어 $2.32를 잃으며, 2.70%입니다.
k번째 베팅액은 2ᵏ − 1유닛, 즉 1, 3, 7, 15, 31입니다. 처음 k − 1개 베팅액의 합은 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1입니다. k번째 베팅에서 이기면 2ᵏ − 1을 지급하므로, 사이클의 결과는 (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k 유닛 이익입니다. 이기기 전 패배마다 유닛 하나를 더 법니다.
$10 유닛에서 베팅액은 $10, $30, $70, $150, $310이고, 다음 $630은 $500 최대 한도를 넘습니다. 다섯 번 연속 패배, (19/37)⁵ = 3.57%는 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570의 비용입니다.
평균에서 승리는 k = 1부터 5까지 (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37의 확률로 $10 × k를 가져오고, 중단은 3.57%의 확률로 $570을 잃게 합니다. 합치면 −$2.32입니다. 총 베팅액은 한 사이클에 평균 $85.73이고, 2.32/85.73 = 2.70%입니다. 같은 테이블의 일반 Martingale은 여섯 번 패배 뒤 사이클이 중단되어 사이클의 1.83%에서 −$630이며, 평균 $64.20을 걸어 $1.74를 잃습니다. 다시 2.70%입니다.
플레이어가 레드에 첫 베팅 $1로 Martingale을 계획합니다. 테이블 한도는 $1,000이므로 $1, $2, $4에서 $512까지 열 번 베팅할 수 있습니다. 한 사이클이 열 번 모두 지는 빈도, 평균적으로 걸리는 시간, 200번 베팅의 저녁 세션이 그렇게 끝나는 빈도는 각각 얼마입니까?
해설 보기
답 한 사이클이 열 번 모두 지는 일은 약 784회 중 한 번이며 $1,023의 비용입니다. 평균 약 1,600번 베팅에 한 번입니다. 200번 베팅의 저녁 세션은 약 11%의 확률로 한도에 부딪힙니다. 사이클은 평균 $11.31을 걸어도 평균 $0.31을 잃으며, 2.70%입니다.
레드 베팅은 제로를 포함해 19/37의 확률로 집니다. 열 번 연속 패배는 (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, 약 784번 중 1번입니다. 베팅액 1 + 2 + 4 + … + 512의 합은 $1,023입니다.
한 사이클은 평균 2.05번 베팅이므로, 784사이클은 약 1,600번 베팅입니다. 스핀별로 세면 200번 베팅 중 어딘가에서 열 번 연속 패배가 나올 확률은 11.3%입니다.
재난 사이에서 플레이어는 한 사이클에 $1을 법니다. 나쁜 사이클 전까지 약 $783을 따고 −$1,023을 잃으므로, 전체 구간에서는 약 −$240입니다. 사이클별로는 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31입니다. 사이클당 총 베팅액은 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31입니다. 그리고 −0.31/11.31 = −2.70%입니다.
$500 한도에서 첫 베팅 $10, 여섯 번 베팅과 비교하면 한도 도달은 55사이클에 한 번 일어나고, 200번 베팅의 저녁 세션은 84%의 확률로 이를 만납니다. 더 높은 한도는 붕괴를 덜 자주, 더 크게 만들 뿐 비용을 낮추지 않습니다.
만화 한숨 돌리기
어느 한도에서나 더 드물고 더 커집니다. 곱은 일정합니다.
출처
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.