룰렛 연속 결과의 확률

수학으로 즐기기

먼저 직접 풀어 보십시오. 각 해설은 접혀 있으므로 준비되었을 때 여십시오.

1. 유러피언 휠에서 37개 숫자가 모두 적어도 한 번 나올 때까지 평균 몇 스핀이 걸립니까?

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   답 평균 약 155회 스핀이며, 중앙값은 147입니다.

   한 번에 새 숫자 하나를 기다리는 시간을 셉니다. 첫 스핀은 항상 새 숫자를 보여 줍니다. 숫자 1개를 보았을 때 37개 포켓장비포켓로터에 있는 37개의 번호 칸 중 하나입니다. 슬롯, 컵이라고도 합니다.전체 읽기 → 중 36개가 새 것이므로, 다음 새 숫자까지 평균 37/36회 스핀이 걸립니다. k개 숫자를 보았을 때는 37/(37 − k)가 걸립니다.

   기다리는 시간을 더하면 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5회 스핀입니다.

   대부분은 끝부분에서 옵니다. 마지막 숫자 하나만 평균 37회 스핀이 걸리고, 마지막 다섯 개는 약 85회가 걸립니다. 아메리칸 휠에서는 같은 합이 약 161입니다. 이는 쿠폰 수집가 문제이며, 표준 계산에서도 같은 평균이 나옵니다.

2. 유러피언 휠에서 포켓마다 한 스핀씩, 총 37회 스핀을 하면 서로 다른 숫자를 몇 개나 볼 것으로 예상합니까?

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   답 약 23.6개입니다. 숫자의 약 삼분의 일, 약 13개는 전혀 나오지 않습니다.

   17처럼 숫자 하나를 택합니다. 매 스핀에서 나오지 않을 확률은 36/37이고, 37회 스핀 모두에서 빠질 확률은 (36/37)³⁷ ≈ 0.363입니다.

   모든 숫자는 같은 확률이므로, 평균적으로 37 × 0.363 ≈ 13.4개 숫자가 빠지고 37 − 13.4 ≈ 23.6개가 나옵니다. 그중 상당수는 두 번 이상 나옵니다.

   룰렛 플레이어들은 이를 삼분의 일 법칙이라고 부릅니다. 법칙은 아니고 반복의 산술일 뿐입니다. 휠만큼 긴 실행에서는 공정 휠이든 다른 휠이든 숫자의 약 삼분의 일이 나오지 않습니다. 38개 포켓에서는 비율도 (37/38)³⁸ ≈ 0.363이고, 큰 휠에서는 1/e ≈ 0.368 근처로 수렴합니다.

3. 친구가 각각 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 → 또는 블랙베팅블랙18개의 검은 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 noir입니다.전체 읽기 →으로 된 50개 색 목록 두 개를 보여 주며, 제로휠제로어떤 동등 배당·더즌·컬럼 베팅도 덮지 않는 하나의 녹색 포켓이며 하우스 엣지의 원천입니다. 싱글 제로, 0이라고도 합니다.전체 읽기 →를 빼고 나온 휠 결과라고 말합니다. 한 목록은 색이 25번 바뀌고 가장 긴 연속이 여섯입니다. 다른 목록은 35번 바뀌고 세 번을 넘겨 연속되지 않습니다. 어느 쪽이 만들어 낸 목록입니까?

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   답 두 번째입니다. 실제 목록은 약 24번이나 25번 바뀝니다. 35번 바뀌는 목록은 약 500개 목록 중 한 번 나오고, 세 번보다 긴 연속이 없는 목록은 약 100개 중 두 번 나옵니다.

   새 색은 이전 색을 반복하거나 바꾸며 각각 절반의 확률입니다. 색을 바꿀 49번의 기회는 평균 24.5번의 변화를 낳고, 표준편차는 약 3.5입니다. 서른다섯은 평균보다 표준편차 세 개만큼 높으며, 공정 휠은 그렇게 많은 변화를 약 500개 목록 중 한 번 만듭니다.

   연속 결과도 같은 점을 말합니다. 실제 50개 목록은 약 98%의 확률로 네 번 이상 연속되며, 가장 긴 연속은 대개 다섯이나 여섯입니다.

   사람들은 무작위 목록을 만들어 달라는 요청을 받으면 너무 자주 색을 바꿉니다. 네 번이나 다섯 번의 연속을 패턴처럼 보기 때문입니다. Taylor (2021)은 학생들이 만들어 낸 동전 던지기 목록에서 같은 단서를 보입니다. 실제 무작위성은 사람들이 예상하는 것보다 연속 결과가 더 많습니다.

4. 카지노 이야기책에는 한 플레이어의 숫자가 다섯 번 연속 나왔고 이를 기록이라고 부르는 내용이 있습니다. 유러피언 휠에서 이것은 얼마나 드뭅니까? 또 20개 테이블이 각각 밤낮으로 시간당 40회 스핀하는 카지노 어딘가에서는 얼마나 자주 일어나야 합니까?

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   답 미리 정한 숫자가 다섯 번 연속 나올 확률은 6,900만 번 중 1번입니다. 어떤 숫자든 처음 나온 뒤 네 번 더 연속 나올 확률은 187만 번 중 1번입니다. 그 카지노는 한 해에 약 700만 번 스핀하므로, 다섯 번 연속은 한 해에 세 번 또는 네 번 나와야 합니다.

   미리 정한 숫자는 매 스핀 1/37의 확률로 나오므로 다섯 번 연속 나올 확률은 (1/37)⁵ = 69,343,957번 중 1번입니다. 그러나 누구도 숫자를 미리 정하지 않습니다. 무엇이 처음 나오든 다음 네 스핀이 그것을 반복해야 하므로 (1/37)⁴ = 1,874,161번 중 1번입니다.

   20개 테이블 × 40회 스핀 × 24시간 × 365일 = 한 해에 7,008,000회 스핀입니다. 각 스핀이 연속 결과를 시작할 수 있으므로 카지노는 7,008,000/1,874,161 ≈ 한 해에 3.7번의 다섯 번 연속을 예상합니다.

   이런 종류에 공식 기록은 없고 필요하지도 않습니다. 한 테이블에서 드문 사건은 카지노 전체에서는 일상적이며, 이야기는 그 일이 난 테이블에 관해 전해집니다. Goldman (2007)의 이야기는 더블 제로 휠을 배경으로 하며, 수치는 7,900만 번 중 1번과 209만 번 중 1번입니다.