파산 위험

수학으로 즐기기

먼저 직접 풀어 보십시오. 각 해설은 접혀 있으므로 준비되었을 때 여십시오.

1. $100을 가지고 레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →에만 베팅하여 $1,000을 원합니다. 계획 하나는 한 번에 $1을 겁니다. 계획 둘은 $500을 넘을 때까지 가진 전부를 걸고, 그 뒤에는 $1,000에 도달할 만큼만 겁니다. 어느 계획이 더 낫고, 얼마나 차이 납니까?

   해설 보기

   답 계획 둘이 훨씬 낫습니다. 약 9.0%의 확률로 $1,000에 도달해 공정한 10%에 가깝습니다. 계획 하나의 성공 확률은 약 10²²번 중 7번입니다.

   공정 게임수학공정 게임어느 쪽에도 우위가 없는 게임으로, 모든 베팅의 기대값이 영입니다.전체 읽기 →에서는 무엇을 하든 $100에서 $1,000에 열 번 중 한 번 도달합니다. 돈의 평균 가치가 $100으로 유지되기 때문입니다.

   하우스 엣지는 모든 베팅액의 2.70%를 가져가므로, 총 베팅액이 적을수록 열 번 중 한 번에 더 가까워집니다. 계획 둘은 몇 번 베팅으로 결판냅니다. $100은 $200, $400, $800이 되고 그 뒤에는 $200이면 충분합니다. 성공 확률은 약 9.0%입니다. 계획 하나는 과정이 끝날 때까지 수천 번을 베팅하고, 매번에는 작았던 하우스 엣지가 쌓여 거의 확실한 파산으로 이어집니다.

   이는 하우스에 유리한 게임에서는 필요한 만큼을 가능한 한 적은 횟수로 베팅하라는 Dubins–Savage 결과의 가장 단순한 형태입니다(Epstein, 2013).

2. $500을 가지고 $1,000을 원하며, 도달하는 즉시 멈춥니다. 한 종류의 베팅을 골라 한 번 이길 때까지 또는 돈이 바닥날 때까지 반복합니다. 어느 종류가 가장 높은 확률을 줍니까?

   해설 보기

   답 레드에 한 번 $500을 거는 방식으로 48.6%입니다. 돈을 더 작은 베팅으로 나누는 모든 계획은 더 나쁩니다.

   한 번 이기면 충분하도록 각 베팅액을 고릅니다. 스트레이트업베팅스트레이트업숫자 하나에 거는 베팅으로 35:1을 지급합니다.전체 읽기 → $30은 $1,050을 따고, 스플릿베팅스플릿인접한 두 숫자에 거는 베팅으로 17:1을 지급합니다.전체 읽기 → $60은 $1,020을 땁니다. 그다음 돈이 바닥날 때까지 적어도 한 번 이길 확률을 셉니다. $30 스트레이트업 열여섯 개가 모두 빗나갈 확률은 (36/37)¹⁶ = 64.5%이므로, $1,000에 도달할 확률은 35.5%입니다.

   표는 각 베팅을 보여 줍니다. 레드가 가장 좋은 이유는 $500을 한 번만 걸어 목표에 도달하므로 하우스 엣지가 한 번만 적용되기 때문입니다. 식스 라인베팅식스 라인인접한 두 줄의 여섯 숫자에 거는 베팅으로 5:1을 지급합니다. 프랑스어로 sixain입니다.전체 읽기 →이 두 번째인 것은 세 번만 필요하기 때문입니다. 더즌베팅더즌1–12, 13–24 또는 25–36에 거는 베팅으로 2:1을 지급합니다.전체 읽기 → 하나는 12/37의 확률이라 가장 나쁩니다. $1,000 이상이 될 때까지 $250 유닛금액유닛시스템이나 플레이어가 기준으로 삼는 기본 베팅액입니다. 프로그레션을 유닛으로 설명하면 어느 테이블에도 적용할 수 있습니다.전체 읽기 →으로 걸어도 더즌은 46.4%의 확률로만 도달합니다.

   Bollman (2024)은 아메리칸 휠에 같은 표를 만듭니다. 그의 더즌 행에는 오류가 있습니다. 12/38 = 31.6%이어야 합니다.

   베팅베팅액 × 베팅 횟수$1,000 도달 확률

   스트레이트업$30 × 1635.5%

   스플릿$60 × 835.9%

   스트리트$90 × 534.5%

   코너$125 × 436.7%

   식스 라인$166, $166, $16841.2%

   더즌$500 × 132.4%

   레드$500 × 148.6%

3. 게임 자금금액게임 자금플레이를 위해 따로 마련한 총액입니다. 게임 자금 관리는 베팅별·세션별로 그중 얼마를 위험에 노출할지 정하는 일입니다.전체 읽기 →이 절대 바닥나지 않은 채 레드에 한 유닛씩 스핀마다 겁니다. 첫 스핀 뒤에는 한 유닛 이익이거나 한 유닛 손실입니다. 언젠가 다시 정확히 손익분기점에 설 확률은 얼마입니까?

   해설 보기

   답 37회 중 36회, 97.3%입니다. 아메리칸 휠에서는 38회 중 36회, 94.7%입니다.

   첫 스핀에서 이기면(37회 중 18회) 한 유닛 이익입니다. 하우스 엣지는 끝없는 세션을 아래로 끌어내리므로 언젠가는 다시 손익분기점을 통과하며, 이는 확실합니다. 지면(37회 중 19회) 한 유닛을 만회해야 하고, 언젠가 한 유닛 이익이 될 확률은 18/19입니다(위 표 참조).

   합치면 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37입니다.

   일반적으로 이 확률은 한 스핀의 승리와 패배 확률 사이 차이를 1에서 뺀 값입니다. 유러피언 휠에서는 1 − 1/37, 아메리칸 휠에서는 1 − 2/38입니다. 제로휠제로어떤 동등 배당·더즌·컬럼 베팅도 덮지 않는 하나의 녹색 포켓이며 하우스 엣지의 원천입니다. 싱글 제로, 0이라고도 합니다.전체 읽기 →가 없는 게임에서는 그 차이가 없고 확률은 1입니다. 점수는 항상 다시 손익분기점으로 돌아옵니다. Epstein (2013)이 일반 규칙을 제시합니다.

4. Pascal의 1656년 퍼즐입니다. 두 플레이어가 각각 카운터 12개로 시작해 주사위 세 개를 던집니다. 합이 11일 때마다 카운터 하나가 첫 번째 플레이어에게 가고, 합이 14일 때마다 하나가 두 번째 플레이어에게 갑니다. 다른 결과는 세지 않습니다. 첫 번째 플레이어가 24개를 모두 이길 확률은 얼마입니까? 대신 친구가 은행 역할을 하고 각자 12유닛으로, 매 스핀 레드에 1유닛을 건다면 24유닛 모두를 이길 확률은 얼마입니까?

   해설 보기

   답 첫 번째 플레이어는 약 1,158번 중 1,157번 이깁니다. 레드에 베팅하는 쪽이 24유닛 모두를 이길 확률은 약 34%뿐입니다.

   주사위 세 개의 합이 11인 경우는 27가지, 14인 경우는 15가지이므로, 움직이는 각 카운터는 42번 중 27번, 즉 14번 중 9번 첫 번째 플레이어에게 갑니다. 양쪽이 각각 12개로 시작할 때 전부를 차지할 확률은 1/(1 + r¹²)이며 r은 상대편 확률을 자신의 확률로 나눈 비율입니다.

   첫 번째 플레이어에게 r = 5/9이고 (5/9)¹² ≈ 0.00086이므로 확률은 약 0.99914입니다. 배당률은 9¹² 대 5¹², 즉 282,429,536,481 대 244,140,625로 약 1,157 대 1입니다. Huygens는 1657년에 정확히 이 숫자들을 인쇄했습니다.

   레드에서는 제로 때문에 r = 19/18이고 (19/18)¹² ≈ 1.913이므로 확률은 1/2.913 ≈ 34.3%입니다. 동전이라면 50%입니다. 각 베팅의 2.70% 하우스 엣지는 여러 번 베팅하는 동안 쌓여 16퍼센트포인트 차이가 됩니다.