룰렛 휠 편향
편향이 있는 룰렛 휠에서는 느슨한 프렛, 고르지 않은 로터, 마모된 포켓 같은 물리적 결함 때문에 일부 포켓이 나올 확률이 높아집니다. 룰렛 휠의 편향은 실제로 존재하며 이를 이용한 사례도 있습니다. 어려운 점은 완벽히 공정한 휠도 끊임없이 ‘핫 넘버’를 만들어 낸다는 것입니다. 따라서 질문은 어떤 번호가 핫 넘버인지가 아니라 전체 패턴이 우연으로 설명할 수 있는 수준보다 더 치우쳐 있는지입니다.
1. 공정 휠에서 표본 추출
편향이 전혀 없는 시뮬레이션 휠에서 추출한 스핀입니다. 표본 크기를 바꾸고 가장 많이 나온 포켓을 살펴보십시오.
스핀370
포켓당 기대값10.0
가장 핫한 포켓20 · 16회 적중 (4.32%)
가장 핫한 포켓 대 기대값+60% · 1.9σ
카이제곱 · p32.8 · 0.622
판정편향의 증거 없음
2. 관측값과 기대값
각 막대는 휠 순서에 따른 포켓 하나를 나타냅니다. 점선은 기대 횟수인 n/37입니다. 음영 구간은 ±2 표준편차입니다. 공정 휠에서는 대략 스무 포켓 중 한 포켓이 우연만으로 이 구간을 벗어납니다.
0휠 순서에 따른 포켓 →26
3. 카이제곱 검정
검정은 각 포켓의 기대값과 관측값의 차이를 제곱하고 척도를 조정한 뒤 합산합니다. 공정 휠에서 이 합은 자유도가 36인 카이제곱 분포를 따릅니다. p값이 0.05 미만이면 통상 유의하다고 합니다.
χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ Eᵢ = n/37 df = 36
n = 370 · E = 10.00 · χ² = 32.80 · p = 0.622
n = 370 · E = 10.00 · χ² = 32.80 · p = 0.622
표본 크기 경고표본 크기가 대략 1,000회 스핀보다 작으면 현실적인 편향을 탐지할 검정력이 거의 없습니다. 공정 휠에서 얻어 살펴보는 표본 20개마다 1개에서는 p < 0.05인 ‘유의한’ 결과가 우연히 나타납니다. 여러 휠을 검정하거나 같은 휠이 통과할 때까지 반복 검정하면 거짓 양성 결과가 반드시 발생합니다.
4. 필요한 스핀 수
단측 유의수준 5%, 검정력 80%에서 한 포켓이 1/37보다 자주 나오는 것을 탐지하는 데 필요한 스핀 수입니다. 한 포켓이 37회 중 1회 대신 35회 중 1회 나온다면 플레이어에게 큰 우위가 생기며, 이를 확인하려면 기록된 스핀이 수만 회 필요합니다.
실제 발생률플레이어 우위필요한 스핀 수시간당 40회 스핀 기준
25분의 1+44.0%1,10828시간
30분의 1+20.0%4,392110시간
33분의 1+9.1%15,747394시간
35분의 1+2.9%69,4611,737시간
방법론
표본 추출 시드가 지정된 생성기(mulberry32, 시드 99)로 37개 포켓에서 균일하게 추출하므로 페이지의 결과를 재현할 수 있습니다.
검정 Pearson 카이제곱 적합도 검정이며 자유도는 36이고, p값은 정규화된 불완전 감마 함수에서 구합니다.
검정력 단일 비율 검정의 정규 근사이며, 단측 α = 0.05, 검정력은 0.80입니다.
범위 통계적 탐지만 다룹니다. 물리적 원인과 포켓 대신 섹터를 기준으로 한 분석은 섹터 분석에서 다룹니다.
만화 한숨 돌리기
공정 휠에서도 매일 밤 핫 넘버가 나옵니다. 편향을 입증하려면 수만 회의 스핀이 필요합니다.
출처
- Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations… Philosophical Magazine, 50(302).
- Thorp, E. O. (1969). Optimal gambling systems for favorable games. Review of the International Statistical Institute, 37(3).
- Ethier, S. N. (2010). The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer. Ch. 13, Roulette.