켈리 기준과 룰렛
Kelly 기준은 우위가 있는 베팅자에게 베팅액을 얼마나 정할지 알려 줍니다. 룰렛에서는 답이 분명합니다. 아무것도 베팅하지 않는 것입니다.
Kelly 베팅액 = 우위 / 배당률입니다. 우위가 음수이면 공식은 음수 비율을 내놓으며, 이는 베팅하지 말라는 뜻입니다. 이 기준은 편향을 이용한 플레이어가 베팅액을 그렇게 정한 이유와, 다른 모든 사람이 예산에 따라 베팅액을 정해야 하는 이유를 이해하는 데 여전히 유용합니다.
기준
John Kelly(1956)는 알려진 우위를 가진 도박자가 게임 자금금액게임 자금플레이를 위해 따로 마련한 총액입니다. 게임 자금 관리는 베팅별·세션별로 그중 얼마를 위험에 노출할지 정하는 일입니다.전체 읽기 →의 장기 성장을 극대화하려면 베팅액을 어떻게 정해야 하는지 물었습니다. 승리 확률수학확률결과가 일어날 가능성으로, 0에서 1 또는 0%에서 100% 사이로 나타냅니다. 숫자 하나는 1/37 = 2.70%입니다.전체 읽기 →이 p이고 패배 확률이 q = 1 − p인 b 대 1 순수 배당금의 베팅에서 답은 게임 자금 중 f* = (bp − q) / b의 비율을 베팅하는 것입니다. f*가 양수이면 그 비율만큼 베팅하고, 영 또는 음수이면 베팅하지 않습니다. Kelly는 Bell Labs에서 일했고, 그의 논문 ‘A new interpretation of information rate’는 이 문제를 Claude Shannon의 정보 이론에 놓았습니다. 즉, 잡음이 있는 회선으로 정보를 받는 도박자는 공정 배당률에서 그 회선이 정보를 전달하는 비율만큼만 기껏해야 게임 자금을 늘릴 수 있습니다. 1961년 Leo Breiman은 장기적으로 Kelly 베팅이 본질적으로 다른 어떤 전략보다 앞서며 정해진 목표에 거의 가장 짧은 시간 안에 도달함을 증명했습니다.
룰렛에서의 Kelly 베팅
레드베팅레드18개의 빨간 숫자에 거는 동등 배당 베팅입니다. 프랑스어로 rouge입니다.전체 읽기 →의 경우 b = 1, p = 18/37, q = 19/37이고 f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37입니다. 스트레이트업베팅스트레이트업숫자 하나에 거는 베팅으로 35:1을 지급합니다.전체 읽기 →의 경우 b = 35, p = 1/37, q = 36/37이고 f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295입니다. 모든 표준 베팅은 음수 Kelly 비율을 냅니다. 모든 베팅의 우위가 음수이고 성장을 최적으로 하는 베팅액은 영이기 때문입니다. 룰렛의 Kelly 베팅은 하우스 엣지 페이지의 말을 형식적으로 표현한 것입니다. 음의 기대값 베팅으로 게임 자금을 늘리는 베팅액은 없습니다.
Kelly가 적용된 경우
편향을 이용한 플레이어에게는 우위와 베팅 규모 문제가 있었습니다. Jagger, García-Pelayos 가족, Eudaemons는 측정한 우위에 얼마를 베팅할지 정해야 했습니다. 너무 적게 베팅하면 우위를 낭비하고, 너무 많이 베팅하면 우위가 드러나기 전에 파산할 위험이 있습니다. 30번 중 1번 맞는 포켓장비포켓로터에 있는 37개의 번호 칸 중 하나입니다. 슬롯, 컵이라고도 합니다.전체 읽기 →에 대해 Kelly는 그 숫자에 스핀당 게임 자금의 0.57%를 베팅하라고 말합니다. $10,000이면 스핀당 약 $57이며, 전형적인 성장률은 스핀당 약 0.054%, 1,000회 스핀에서 약 ×1.7입니다. 평균 이득은 그 두 배인 스핀당 0.11%이지만, Kelly는 몇 번의 매우 운 좋은 연속 결과가 부풀리는 평균이 아니라 전형적인 게임 자금을 목표로 합니다. 우위 추정에는 불확실성이 있으므로 실전에서는 절반 Kelly가 일반적인 선택입니다.
전형적 결과와 평균
전형적인 게임 자금과 평균 게임 자금 사이의 차이는 큽니다. Thorp가 자신의 장치에 제시한 수치인 44% 우위, 즉 25번 중 1번 맞는 포켓을 생각해 보겠습니다. Kelly는 여기에 게임 자금의 1.26%를 베팅합니다. 1,000회 스핀 뒤 전형적인 게임 자금은 약 11.5배로 늘지만, 매우 운 좋은 몇 번의 연속 결과가 끌어올린 평균은 약 249배로 늘었습니다. Kelly보다 많이 베팅하면 평균은 높아지고 전형적인 결과는 낮아집니다. Kelly 베팅액의 두 배에서는 전형적인 게임 자금이 겨우 두 배가 되고, Kelly 베팅액의 둘과 반 배에서는 모든 베팅이 여전히 44% 우위를 가져도 게임 자금이 줄어듭니다. 적게 베팅하는 비용은 작습니다. 절반만 베팅해도 성장의 약 사분의 삼을 유지합니다.
우위가 추정일 때
Kelly는 우위를 알고 있다고 가정합니다. 테이블에서 우위는 추정값이며, 대개 너무 높게 추정됩니다. Thorp의 44%를 바탕으로 한 Epstein의 예는 더블 제로휠제로어떤 동등 배당·더즌·컬럼 베팅도 덮지 않는 하나의 녹색 포켓이며 하우스 엣지의 원천입니다. 싱글 제로, 0이라고도 합니다.전체 읽기 → 휠에서 1,225회 스핀 중 49번 나온 숫자입니다. 25번 중 1번, 44% 우위, 1.26% Kelly 베팅액입니다. 그러나 공정 더블 제로 휠에는 숫자가 38개이고, 그중 가장 자주 나온 숫자도 1,225회 스핀에서 49번 이상 나올 확률은 아홉 번 중 한 번입니다. 어떤 기록에서 가장 자주 나온 숫자는 운이 가장 많이 도운 숫자이기도 하므로, 실제로 편향된 포켓이라도 기록에서는 실제보다 좋아 보입니다. 이것이 승자의 저주입니다. 그 포켓이 사실 편향되지 않았다면 Kelly 베팅액은 평균적으로 5.26%를 잃는 베팅일 뿐입니다. 일반적인 답은 Kelly의 일부만 베팅하고, 우위가 새 기록에서도 살아남을 때까지 계속 세는 것입니다(휠 편향 감지 방법 참조).
우위가 있는 사람들
우위를 아는 것과 잘 활용하는 것은 다릅니다. Haghani와 Dewey(2016)는 앞면이 60% 확률로 나온다고 알려 준 동전에 61명에게 각 $25씩 주고 반 시간 동안 베팅하게 했으며, 당첨금은 $250으로 제한했습니다(플레이어는 그 한도에 도달했을 때만 이를 알았습니다). Kelly는 매번 게임 자금의 20%를 앞면에 베팅하라고 하며, 저자들은 10–20%씩 꾸준히 베팅하면 약 95% 확률로 한도에 도달할 것으로 추정합니다. 실제로 거기에 도달한 플레이어는 21%뿐이었습니다. 28%는 파산했고, 61명 중 18명은 한 번의 던지기에 전부를 베팅했으며, 약 삼분의 일은 시작한 $25보다 적은 금액으로 마쳤고 평균 순수 배당금금액순수 배당금당첨 베팅에 원금 반환과 별도로 지급되는 금액입니다. ‘X 대 1’로 표시합니다.전체 읽기 →은 $91였습니다. 61명 중 Kelly 기준을 들어 본 사람은 다섯 명뿐이었습니다. 우위가 있다면 베팅액의 크기가 그 우위를 유지할지 결정하고, 공정 휠처럼 우위가 없다면 어떤 규모도 도움이 되지 않습니다.
대신 사용할 것
우위가 없을 때 베팅 규모는 성장 문제가 아니라 예산 문제입니다. 베팅액 = 시간당 예산과 테이블의 진행 속도에서 산출한, 스핀당 쓸 의사가 있는 금액입니다(게임 자금 관리 페이지). 일반 플레이어에게 Kelly가 주는 것은 답의 명확성입니다. 영입니다. 영보다 많이 베팅하는 모든 금액은 어떤 공식이 최적화한 것이 아니라 스스로 선택한 플레이 비용입니다.
부분 Kelly와 ‘자금 관리’에 관한 메모
베팅마다 게임 자금의 고정 비율을 권하는 ‘룰렛용 Kelly’ 시스템은 베팅액이 줄어드는 고정 베팅전략고정 베팅매 스핀에 같은 금액을 베팅하는 방식입니다. 모든 프로그레션을 비교하는 기준선입니다.전체 읽기 →입니다. 이 시스템은 총 베팅액금액총 베팅액당첨금을 다시 베팅한 것도 포함한 세션 또는 기간의 전체 베팅액입니다. 핸들, 액션이라고도 합니다.전체 읽기 →의 2.70%를 잃고, 질수록 베팅액이 줄어들기 때문에 파산 가능성을 낮추지는 않고 파산을 늦출 뿐입니다. 예산을 오래 유지하는 합리적인 방법일 수는 있지만, 멈추라고 말할 Kelly는 아닙니다.
공식
질문
편향 휠분석실편향 휠물리적 결함 때문에 일부 포켓이 1/37보다 더 자주 나오는 휠입니다. 드물며, 수천 회의 기록된 스핀으로만 검출할 수 있습니다.전체 읽기 →이나 타이밍 장치에서 측정한 우위가 있을 때만 그렇습니다. 공정 휠에서는 아닙니다.
우위 추정에는 오차가 있고, 너무 많이 베팅하는 비용이 너무 적게 베팅하는 비용보다 크기 때문입니다. 절반 Kelly는 분산수학분산결과가 기대값 주위에 얼마나 넓게 퍼지는지 나타내는 척도입니다. 스트레이트업은 높고 동등 배당 베팅은 낮습니다.전체 읽기 →의 사분의 일로 성장의 사분의 삼을 냅니다.
아니요. Kelly는 우위가 주어졌을 때 성장을 최적화합니다. 게임 자금 관리는 우위가 없을 때 지출을 통제합니다.
수학으로 즐기기
먼저 직접 풀어 보십시오. 각 해설은 접혀 있으므로 준비되었을 때 여십시오.
Thorp와 Shannon의 예측 장치는 약 44%의 우위를 주었습니다. 예측한 숫자 하나에 대해서 Kelly 기준은 게임 자금금액게임 자금플레이를 위해 따로 마련한 총액입니다. 게임 자금 관리는 베팅별·세션별로 그중 얼마를 위험에 노출할지 정하는 일입니다.전체 읽기 →의 1.26%를 베팅하라고 합니다. 같은 44% 우위가 이웃 숫자 다섯 개에 걸친 한 베팅에서 나온다면 어떻게 됩니까?
해설 보기
답 이 경우 Kelly 기준은 게임 자금의 7.1%를 말하며, 게임 자금은 거의 여섯 배 빠르게 성장합니다. 1,000번 베팅에서 약 11.5배가 아니라 약 125만 배입니다.
44%의 우위를 가진 스트레이트업베팅스트레이트업숫자 하나에 거는 베팅으로 35:1을 지급합니다.전체 읽기 →은 36 × 0.04 = 1.44이므로 0.04의 확률로 이깁니다. Kelly 기준의 베팅액은 우위를 배당률로 나눈 값인 0.44/35 = 1.26%입니다. 베팅당 전형적 성장은 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244이므로, 1,000번 베팅은 게임 자금을 약 e^2.44 ≈ 11.5배로 만듭니다.
베팅액 하나를 다섯 숫자에 나누면 0.20의 확률로 이기고, 원금을 포함해 베팅액 1당 36/5를 돌려주며 순수 배당률은 6.2 대 1입니다. 0.2 × 7.2 = 1.44이므로 여전히 44%의 우위입니다. Kelly 기준의 베팅액은 0.44/6.2 = 7.10%가 되고, 베팅당 성장은 0.01404로 약 5.75배입니다. 1,000번 베팅에서는 e^14.04, 약 125만입니다.
우위는 같지만 변동은 더 작습니다. 다섯 번 중 한 번 이기는 베팅은 파산 위험 없이 게임 자금에서 더 큰 비율을 걸 수 있고, Kelly 성장률은 그에 보상합니다. Thorp (1984)는 예측 플레이어가 섹터휠섹터레이아웃에서 묶인 숫자와 달리, 휠에서 이어진 포켓의 호 모양 구간입니다.전체 읽기 →에 베팅하는 이유를 보이기 위해 이 예를 씁니다. 실제로 이웃 다섯 포켓베팅이웃 베팅한 숫자와 휠에서 그 양옆 포켓 두 개에 거는 다섯 개의 스트레이트업 칩입니다.전체 읽기 →은 최고 숫자 하나보다 우위가 약간 낮습니다(Advantage Play 참조).
플레이어가 각각 37회 중 1회가 아니라 25회 중 1회 나오는 이웃 포켓장비포켓로터에 있는 37개의 번호 칸 중 하나입니다. 슬롯, 컵이라고도 합니다.전체 읽기 → 두 개를 발견했습니다. 17 대 1을 지급하는 두 포켓 사이의 스플릿베팅스플릿인접한 두 숫자에 거는 베팅으로 17:1을 지급합니다.전체 읽기 →에 걸어야 합니까, 아니면 각 숫자에 스트레이트업을 걸어야 합니까? Kelly 기준은 얼마라고 하며, 그런 포켓 하나와 비교해 게임 자금은 얼마나 빨리 성장합니까?
해설 보기
답 차이가 없습니다. 스플릿에는 게임 자금의 2.59%, 또는 각 숫자에 1.29%입니다. 1,000회 스핀에서 전형적인 게임 자금은 약 155배로 성장하며, 포켓 하나일 때의 11.5배와 비교됩니다.
스플릿은 확률수학확률결과가 일어날 가능성으로, 0에서 1 또는 0%에서 100% 사이로 나타냅니다. 숫자 하나는 1/37 = 2.70%입니다.전체 읽기 → 2/25 = 0.08로 이기고 17 대 1을 지급하므로, 걸린 유닛금액유닛시스템이나 플레이어가 기준으로 삼는 기본 베팅액입니다. 프로그레션을 유닛으로 설명하면 어느 테이블에도 적용할 수 있습니다.전체 읽기 →당 18 × 0.08 = 1.44가 돌아옵니다. 편향 포켓 하나와 같은 44% 우위입니다. Kelly 베팅액은 우위를 배당률로 나눈 0.44/17 = 2.59%입니다.
각각 1.29%의 스트레이트업 베팅 두 개도 정확히 같은 결과를 냅니다. 어느 숫자가 나오든 한 칩금액칩고정 금액을 나타내며 레이아웃에 놓아 베팅하는 토큰입니다. 체크라고도 합니다.전체 읽기 →은 35 대 1로 이기고 다른 하나는 지므로, 순결과는 스플릿이 지급하는 것처럼 게임 자금의 34 × 1.29% = 44%입니다. 둘 다 아니면 둘 다 잃습니다.
스핀당 성장률은 0.00505로, 포켓 하나의 0.00244와 비교됩니다. 따라서 1,000회 스핀에서 전형적인 게임 자금은 e^5.046 ≈ 155배로, e^2.44 ≈ 11.5배가 아니라 성장합니다. 좋은 숫자 두 개는 하나의 두 배보다 훨씬 큰 가치가 있어, 편향을 이용하는 플레이어가 숫자 무리에 베팅합니다. Thorp (1984)는 같은 비교를 계산합니다.
만화 한숨 돌리기
성장을 최적으로 하는 룰렛 베팅액은 모두가 이미 아는 숫자입니다.
출처
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”